图的基础知识

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今天和大家聊聊关于图的一些知识。

01、图是什么

图(Graph)是表示物件与物件之间的关系的数学对象,是图论的基本研究对象。


在数据结构中,图是什么呢?喏,就是这样:

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Emmmm…..或者说常见一点的:

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图是一个比树形关系复杂一点点,比线性关系复杂两点点的东东。


  • 线性关系是一对一:一个前驱一个后继。
  • 树形结构是一对多:一个父多个子
  • 图形结构是多对多:任意两个顶点(图中的节点叫做顶点)都有可能相关,是一种多对多的关系。


图我们一般表示为 G = (V,E)

  • V:代表点
  • E:代表边


啥意思嘞,比如就上面那个绿油油的图,就可以表示为:

  • V={1,2,3,4,5,6}
  • E={(1,2),(1,5),(2,3),(2,5),(3,4),(4,5),(4,6)}

02、图的术语

然后我们介绍一下图的一些术语。


图里最基本的单元是顶点(vertex),相当于树中的节点。顶点之间的关联关系,被称为边(edge)。而边可以分配一个数值(正负都ok),这个数值就叫做权重。

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(数据取自真实数据…..)

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当然,这里值得一提的是,树也可以被当做简单的图,而链表也可以被当做简单的树。

03、无向图和有向图

有方向的图就是有向图,无方向的图就是无向图。


边没有方向的图称为无向图。比如说我微信里同时加了这5个妹子,这5个妹子也都认识我。

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突然有一天,除了小花,其他四个妹子同时间都把我拉黑了。我的微信里能看到她们,她们却看不到我。

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然后嘞,无向图就变成了有向图:

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04、完全图

所有的顶点互相连接在一起,那就是完全图。


在无向图中,若每对顶点之间都有一条边相连,则称该图为完全图。大概就是这样:

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而在有向图中,若每对顶点之间都有二条有向边相互连接,也算是完全图。

05、循环图 和 DAG

所有的这些概念,都是顺利成章产生的。


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循环图中的循环二字,指的是起点和终点是同一节点时产生的路径。所以,循环图和有向图或无向图并没有什么关系,因为都有可能产生循环。有向图,那就遵循边的方向。无向图,那只要成环就行。

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这三个:

  • 第一个就是无向循环图
  • 第二个就是有向非循环图
  • 第三个就是有向循环图


那第二个,更多的是被称为,有向无环图 DAG(Directed Acyclic Graph。那下面这个也是 :

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那上面这个像不像一棵树。。。。。所以计算机结构中的树(大多都是有向的),其实就是一个DAG。

06、加权图

用数学语言讲,设G为图,对图的每一条边e来说,都对应于一个实数W(e)(可以通俗的理解为边的“长度”,只是在数学定义中图的权可以为负数),我们把W(e)称为e的“权”。把这样的图G称为“加权图”。


这个没啥好说的了,就是边有长度的图(这个长度可以是各种含义)。大部分我们接触到的图,都是加权图。

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但是这里如果细分的话,又分出来了。顶点加权图和边加权图。 说白了,就是有人发现如果只给边加上权值(就是长度)并不够用,有时候也需要给顶点加上权值。

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07、连通图

在图论中,连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中,若从顶点i到顶点j有路径相连(当然从j到i也一定有路径),则称i和j是连通的。


连通的图,就是连通图:

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如果不通了,就是非连通图:(这是一个图)

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那没有连通在一起的这两坨(或者说移动的这两坨),我们叫作。(画外音,也许当年给联通移动起名的,就是程序员。从这里看,联通和移动本身就是对立的)

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所以,如果我们的图里包含岛,那就是非连通图。

08、稠密图和稀疏图

终于出现一个有学问的。你看 连通图-非连通图,加权图-非加权图,循环图-非循环图。。。。。人家稠密,终于知道对应一个稀疏了。


如何定义稠密和稀疏?梵蒂冈也有人觉得他们的圣彼得大教堂拥挤,所以稠密稀疏本身就是一个主观定义。


我们可以简单的认为,稀疏图的边数远远少于完全图,反之,稠密图的边数接近于或等于完全图。


本文主要介绍了图的基础知识,下一章会继续讲解图算法。希望大家多多支持!周末写文不容易,求个转发,来个评论。感谢~